✎☛ Déterminer une équation réduite à partir de deux points

Dans un repère orthonormé du plan, on considère deux points \(\text A(x_{\text A}; y_{\text A})\) et \(\text B(x_{\text B}; y_{\text B})\).
On veut déterminer l'équation réduite de la droite \((\text{AB})\).

Méthode

• Si \(x_{\text A} = x_{\text B}\), alors l'équation réduite de la droite \((\text{AB})\) est \(x=x_A\).
  
• Si \(x_{\text A} \neq x_{\text B}\), alors l'équation réduite de la droite \((\text{AB})\) est de la forme \(y = mx+p\).
  On calcule le coefficient directeur \(m\) à l'aide des coordonnées des points \(\text A\) et \(\text B\). Puis, on calcule la valeur de l'ordonnée à l'origine \(p\) : on remplace les variables \(x\) et \(y\) par les coordonnées du point \(\text A\) (ou par celles du point \(\text B\)), puis on résout l'équation obtenue.
  

Énoncé

Dans un repère orthonormé du plan, on considère les points \(\text A (-2;3)\) et \(\text B (4; -1)\).
Déterminer l'équation réduite de la droite \((\text{AB})\).

Solution

On a \(x_{\text A} \neq x_{\text B}\), donc la droite \((\text{AB})\) n'est pas parallèle à l'axe des ordonnées et son équation réduite est de la forme \(y=mx+p\), où `m` et `p` sont des réels.
On a \(m= \dfrac{y_{\text B} - y_{\text A}}{x_{\text B} - x_{\text A}} = \dfrac{-1-3}{4-(-2)} = -\dfrac{2}{3}\) et l'équation réduite est donc \(y=-\dfrac{2}{3}x+p\).
\(\text A (-2;3) \in d\) signifie que \(3 = -\dfrac{2}{3} \times (-2) + p\).
Ainsi, en résolvant l'équation précédente, on obtient \(p=\dfrac{5}{3}\).

Donc l'équation réduite de la droite \((\text{AB})\) est \(y=-\dfrac{2}{3}x+\dfrac{5}{3}\).